Урок №2.

Тема урока. Действительные числа.

Цель урока. Ввести понятие действительного числа. Действия с действительными числами.

Ход урока.

I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

II . Повторение пройденного материала.

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения знаний (самостоятельная работа).

1 вариант. 2 вариант.

1. Найдите значения выражений:

1) ; 2) ; 3) 1) 2) 3)

2. Вычислить:

1) 2) 1) 2)

3) 4) 3) ; 4)

III . Изучение нового материала.

1.Рациональных чисел недостаточно для решения задач измерения. Так диагональ квадрата с единичной стороной не может быть измерена, если использовать только рациональные числа(2,5т.л. до н.э.)

Для задач измерения можно выбрать стандартную величину - длину отрезка и задать числа геометрически – отрезками, а точнее их отношениями к выбранному единичному отрезку (единице масштаба). Если назвать числом отношение отрезка к единичному, то возникает задача записи числа. Удобна запись числа в виде десятичной дроби, отражающей некоторый процесс измерения.

Измеряя диагональ квадрата со стороной 1, мы сначала отложим целый

единичный отрезок и получим число 1. В остатке будем откладывать деся-

тую часть единичного отрезка. Она отложится 4 раза, и останется отрезок

длины, меньшей . Получим десятичную дробь 1,4. Затем делим

снова на 10 частей, откладываем новый отрезок в остатке и записываем

результат. Получим последовательность десятичных дробей с увеличива-

ющимся количеством знаков после запятой: 1; 1.4; 1,41; 1,414; 1,4142;… .

Эту последовательность удобно представить в виде одной беско-

нечной десятичной дроби 1,414213562373095…, которую и можно считать

числом. Итак, по определению действительное число – это бесконечная

непериодическая десятичная дробь.

2. Конечная десятичная дробь. Рациональное число, представленное

Дробью, в знаменателе которой стоят только двойки и пятерки, запишется

конечной десятичной дробью, так как на каком-то шаге десятичный процесс измерения закончится – некоторая доля единичного отрезка отложится в остатке целое число раз.

Например:

Если у некоторой несократимой дроби в знаменателе есть простые числа, отличные от 2 и 5, то процесс десятичного измерения станет периодическим, и цифры (одна или несколько) начнут периодически повторяться.

Например:

3. Иррациональные числа – это числа, не являющиеся рациональными. Они записываются бесконечными непериодическими десятичными дробями.

Например: .

Объединение множества рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел R . ( ).

4 . Зачем понадобились действительные числа, и хватает ли их для решения задач?

Добавление к рациональным числам иррациональных чисел было вызвано необходимостью измерения длины любых отрезков. С помощью так построенных действительных чисел можно измерять многие другие величины, которые были названы скалярными .

5 . Почему диагональ квадрата со стороной, равной единице, нельзя измерить рациональным числом?

6. Действия над действительными числами.

Бесконечная десятичная дробь – это последовательность приближений конечными десятичными дробями к данному действительному числу. Для выполнения арифметических операций над ними эти операции делаются с конечными десятичными дробями.

Например: . Получим:

Аналогично (с помощью калькулятора).

Действительные числа можно изобразить точками на числовой оси. Если два числа b изображены точками на числовой оси, то расстояние между А и В равно модулю разности чисел a u b : Свойства:

I v . Закрепление пройденного материала.

1. Ответить на вопросы.

1) Всякое ли целое число является рациональным? (Да)

2) Является ли число иррациональным? (Нет)

3) Всегда ли сумма рациональных чисел является рациональным числом? (Нет. Сумма периодических дробей.)

4) Может ли при сложении иррациональных чисел получиться рациональное число? (Нет)

5) Может ли частное от деления рационального числа на иррациональное быть рациональным числом? (Нет)

6) Всегда ли квадрат иррационального числа является рациональным числом? (Нет. ).

2. Решение примеров.

1) Приведите примеры рациональных и иррациональных чисел.

2) Укажите рациональные и иррациональные числа:

3) Верно ли, что: а) . б)

Если число α нельзя представить в виде несократимой дроби $$\frac{p}{q}$$, то его называют иррациональным.
Иррациональное число записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Факт существования иррациональных чисел продемонстрируем на примере.
Пример 1.4.1. Докажите, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
Решение. Предположим, что существует несократимая дробь $$\frac{p}{q}$$ такая, что $$(\frac{p}{q})^{2}=2$$
или $$p^{2}=2q^{2}$$. Отсюда следует, что $$p^{2}$$ кратно 2, а значит, и p кратно 2. В противном случае, если p не делится на 2, т.е. $$p=2k-1$$, то $$p^{2}=(2k-1)^{2}=4k^{2}-4k+1$$ также не делится на 2. Следовательно, $$p=2k$$ $$\Rightarrow$$ $$p^{2}=4k^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$4k^{2}=2q^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$q^{2}=2k^{2}$$.
Поскольку $$q^{2}$$ кратно 2, то и q кратно 2, т.е. $$q=2m$$.
Итак, числа p и q имеют общий множитель – число 2, а значит, дробь $$\frac{p}{q}$$ сократимая.
Это противоречие означает, что сделанное предположение неверно, тем самым утверждение доказано.
Множество рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел.
В множестве действительных чисел аксиоматически вводятся операции сложения и умножения: любым двум действительным числам a и b ставится в соответствие число $$a+b$$ и произведение $$a\cdot b$$.
Кроме того, в этом множестве вводятся отношения "больше", "меньше" и равенства:
$$a>b$$ тогда и только тогда, когда a - b – положительное число;
$$a a = b тогда и только тогда, когда a - b = 0.
Перечислим основные свойства числовых неравенств.
1. Если $$a>b$$ и $$b>c$$ $$\Rightarrow$$ $$a>c$$.
2. Если $$a>b$$ и $$c>0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bc$$.
3. Если $$a>b$$ и $$c<0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac 4. Если $$a>b$$ и c – любое число $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+c$$.
5. Если a, b, c, d – положительные числа такие, что $$a>b$$ и $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bd$$.
Следствие. Если a и b – положительные числа и $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$a^{2}>b^{2}$$.
6. Если $$a>b$$ и $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+d$$.
7. Если $$a>0$$, $$b>0$$ и $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$$.

Геометрическая интерпретация действительных чисел.
Возьмем прямую l , см. рис. 1.4.1, и зафиксируем на ней точку O – начало отсчета.
Точка O разбивает прямую на две части – лучи. Луч, направленный вправо, назовем положительным лучом, а луч, направленный влево – отрицательным. На прямой отметим отрезок, принятый за единицу длины, т.е. вводим масштаб.

Рис. 1.4.1. Геометрическая интерпретация действительных чисел.

Прямая с выбранным началом отсчета, положительным направлением и масштабом называется числовой прямой.
Каждой точке числовой прямой можно поставить в соответствие действительное число по следующему правилу:

– точке О поставим в соответствие нуль;
– каждой точке N на положительном луче поставим в соответствие положительное число a, где a – длина отрезка ON ;
– каждой точке M на отрицательном луче поставим в соответствие отрицательное число b, где $$b=-\left | OM \right |$$ (длина отрезка OM, взятая со знаком минус).
Таким образом, между множеством всех точек числовой прямой и множеством действительных чисел устанавливается взаимно–однозначное соответствие, т.е. :
1) каждой точке на числовой прямой поставлено в соответствие одно и только одно действительное число;
2) разным точкам поставлены в соответствие разные числа;
3) нет ни одного действительного числа, которое не соответствовало бы какой–либо точке числовой прямой.

Пример 1.4.2. На числовой прямой отметьте точки, соответствующие числам:
1) $$1\frac{5}{7}$$ 2) $$\sqrt{2}$$ 3) $$\sqrt{3}$$
Решение. 1) Для того, чтобы отметить дробное число $$\frac{12}{7}$$, надо построить точку, соответствующую $$\frac{12}{7}$$.
Для этого надо отрезок длины 1 разделить на 7 равных частей. Эту задачу решаем так.
Проводим произвольный луч из т.О и на этом луче отложим 7 равных отрезков. Получим
отрезок ОА, и из т. А проведем прямую до пересечения с 1.

Рис. 1.4.2. Деление единичного отрезка на 7 равных частей.

Прямые, проведенные параллельно прямой А1 через концы отложенных отрезков, делят отрезок единичной длины на 7 равных частей (рис.1.4.2). Это дает возможность построить точку, изображающую число $$1\frac{5}{7}$$ (рис.1.4.3).

Рис. 1.4.3. Точка числовой оси, соответствующая числу $$1\frac{5}{7}$$.

2) Число $$\sqrt{2}$$ можно получить так. Построим прямоугольный треугольник с единичными катетами. Тогда длина гипотенузы равна $$\sqrt{2}$$; этот отрезок откладываем от О на числовой прямой (рис.1.4.4).
3) Для построения точки, удаленной от т.О на расстояние $$\sqrt{3}$$ (вправо) надо построить прямоугольный треугольник с катетами длиной 1 и $$\sqrt{2}$$. Тогда его гипотенуза имеет длину $$\sqrt{2}$$, что позволяет указать искомую точку на числовой оси.
Для действительных чисел определено понятие модуля (или абсолютной величины).

Рис. 1.4.4. Точка числовой оси, соответствующая числу $$\sqrt{2}$$.

Модулем действительного числа a называется:
– само это число, если a – положительное число;
– нуль, если a – нуль;
– -a , если a – отрицательное число.
Модуль числа a обозначается $$\left | a \right |$$.
Определение модуля (или абсолютной величины) можно записать в виде

$$\left | a \right |=\left\{\begin{matrix}a, a\geq0\\-a, a<0\end{matrix}\right.$$

(1.4.1)

Геометрически модуль числа a означает расстояние на числовой прямой от начала отсчета О до точки, соответствующей числу a .
Отметим некоторые свойства модуля.
1. Для любого числа a справедливо равенство $$\left | a \right |=\left | -a \right |$$.
2. Для любых чисел a и b справедливы равенства

$$\left | ab \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right |$$; $$\left | \frac{a}{b} \right |=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}$$ $$(b\neq 0)$$; $$\left | a \right |^{2}=a^{2}$$.

3. Для любого числа a справедливо неравенство $$\left | a \right |\geq 0$$.
4. Для любого числа a справедливо неравенство $$-\left | a \right |\leq a\leq \left | a \right |$$.
5. Для любых чисел a и b справедливо неравенство

$$\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$$

Рассмотрим следующие числовые множества.
Если $$a 1) отрезком называется множество всех действительных чисел α для каждого из которых справедливо: $$a\leq \alpha \leq b$$;
2) интервалом (a; b) называется множество всех действительных чисел α , для каждого из которых справедливо: $$a<\alpha 3) полуинтервалом (a; b] называется множество всех действительных чисел α для каждого из которых справедливо: $$a<\alpha \leq b$$.
Аналогично можно ввести полуинтервал .
В некоторых случаях говорят о "промежутках", понимая под этим либо луч, либо отрезок, либо интервал, либо полуинтервал.

Множество R всех действительных чисел обозначают так: $$(-\infty; \infty)$$.
Для любого действительного числа a вводится понятие степени с натуральным показателем n , а именно

$$a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a...a}$$, $$n\geq 2$$ и $$a^{1}=a$$.

Пусть a – любое отличное от нуля число, тогда по определению $$a^{0}=1$$.
Нулевая степень нуля не определена.
Пусть a – любое отличное от нуля число, m – любое целое число. Тогда число $$a^{m}$$ определяется по правилу:

$$a^{m}=\left\{\begin{matrix}a, m=1;\\\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a...a}, m\in N, m\geq2;\\1, m=0;\\\frac{1}{a^{n}}, m=-n, n\in N\end{matrix}\right.$$

при этом a m называется степенью с целым показателем.

Прежде, чем определить понятие степени с рациональным показателем, введем понятие арифметического корня.
Арифметическим корнем степени n (n ∈ N , n > 2 ) неотрицательного числа a называется неотрицательное число b такое, что b n = a . Число b обозначается как $$b\sqrt[n]{a}$$.
Свойства арифметических корней (a > 0 , b > 0 , n, m, k – натуральные числа.)

1. $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$$	5. $$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt{a}$$
2. $$(a)^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^{k}}$$	6. $$\sqrt[n]{a^{m}}=\sqrt{a^{mk}}$$
3. $$(\sqrt[n]{a})^{k}=\sqrt[n]{a^{k}}$$	7. $$\sqrt{a^{2}}=\left | a \right |$$
4. $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} (b\neq 0)$$	8. $$\sqrt{a^{2n}}=\left | a \right |$$

Пусть a < 0 , а n – натуральное число, большее 1. Если n – четное число, то равенство b n = a не выполняется ни при каком действительном значении b . Это значит, что в области действительных чисел нельзя определить корень четной степени из отрицательного числа. Если же n – нечетное число, то существует единственное действительное число b такое, что b n = a . Это число обозначают √n a и называют корнем нечетной степени из отрицательного числа.
Используя определение возведения в целую степень и определение арифметического корня, дадим определение степени с рациональным показателем.
Пусть a – положительное число и $$r=\frac{p}{q}$$ – рациональное число, причем q – натуральное число.

Положительное число

$$b=\sqrt[q]{a^{p}}$$

называется степенью числа a с показателем r и обозначается как

$$b=a^{r}$$, или $$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^{r}}$$, здесь $$q\in N$$, $$q\geq2$$.

Рассмотрим основные свойства степени с рациональным показателем.

Пусть a и b – любые положительные числа, r 1 и r 2 – любые рациональные числа. Тогда справедливы следующие свойства:

1. $$(ab)^{r_{1}}=a^{r_{1}}\cdot b^{r_{1}}$$
2. $$(\frac{a}{b})^{r_{1}}=\frac{a^{r_{1}}}{b^{r_{1}}}$$
3. $$a^{r_{1}}\cdot a^{r_{2}}=a^{r_{1}+r_{2}}$$
4. $$\frac{a^{r_{1}}}{a^{r_{2}}}=a^{r_{1}-r_{2}}$$
5. $$(a^{r_{1}})^{r_{2}}=a^{r_{1}r_{2}}$$	(1.4.2)
6. $$a^{0}=1$$
7. Если $$a>1$$ и $$r_{1}>0\Rightarrow a^{r_{1}}> 1$$
8. Если $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>0\Rightarrow 0< a^{r_{1}}< 1$$
9. Если $$a>1$$ и $$r_{1}>r_{2}\Rightarrow a^{r_{1}}> a^{r_{2}}$$
10. Если $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>r_{2}\Rightarrow a^{r_{1}}> a^{r_{2}}$$

Понятие степени положительного числа обобщается для любого действительного показателя α .
Определение степени положительного числа a с действительными показателями α .

1. Если $$\alpha > 0$$ и

1) $$\alpha=m$$, $$m\in N \Rightarrow a^{\alpha}=\left\{\begin{matrix}a, m=1\\\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a....a}, m\geq 2\end{matrix}\right.$$

2) $$\alpha=\frac{p}{q}$$, где p и q - натуральные числа $$\Rightarrow a^{\alpha}=\sqrt[q]{a^{p}}$$

3) α - иррациональное число, тогда

а) если a > 1, то a α - число большее, чем a r i и меньшее, чем a r k , где r i α с недостатком, r k - любое рациональное приближение числа α с избытком;
b) если 0 < a < 1, то a α - число большее, чем a r k и меньшее, чем a r i ;
c) если a = 1, то a α = 1.

2. Если $$\alpha=0$$, то a α = 1.

3. Если $$\alpha<0$$, то $$a^{\alpha}=\frac{1}{a^{\left | \alpha \right |}}$$.

Число a α называется степенью, число a – основание степени, число α – показатель степени.
Степень положительного числа с действительным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с рациональным показателем.

Пример 1.4.3. Вычислите $$\sqrt{81}\cdot\sqrt{\frac{16}{6}}$$.

Решение. Воспользуемся свойством корней:

$$\sqrt{81}\cdot\sqrt{\frac{16}{6}}=\sqrt{\frac{81\cdot16}{6}}=\sqrt{\frac{3^{4}\cdot2^{4}}{3\cdot2}}=\sqrt{3^{3}\cdot2^{3}}=6$$

Ответ. 6.

Пример 1.4.4. Вычислите $$6,25^{1,5}-2,25^{1,5}$$

1) 4

2) 8

3) 8,25

4) 12,25

Но всегда ли эти дроби периодические? Ответ на этот вопрос отрицателен: существуют отрезки, длины которых нельзя выразить бесконечной периодической дробью (т.е. положительным рациональным числом) при выбранной единице длины. Это было важнейшим открытием в математике, из которого следовало, что рациональных чисел недостаточно для измерения длин отрезков.

Если единицей длины является длина стороны квадрата, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена положительным рациональным числом.

Из данного утверждения следует, что существуют отрезки, длины которых нельзя выразить положительным числом (при выбранной единице длины), или, другими словами, записать в виде бесконечной периодической дроби. И значит, получаемые при измерении длин отрезков бесконечные десятичные дроби могут быть непериодическими.

Считают, что бесконечные непериодические десятичные дроби являются записью новых чисел - положительных иррациональных чисел. Так как часто понятия числа и его записи отождествляют, то говорят, что бесконечные периодические десятичные дроби - это и есть положительные иррациональные числа.

Множество положительных иррациональных чисел обозначают символом J+.

Объединение двух множеств чисел: положительных рациональных и положительных иррациональных называют множеством положительных действительных чисел и обозначают символом R+.

Любое положительное действительное число может быть представлено бесконечной десятичной дробью - периодической (если оно является рациональным) либо непериодической (если оно является иррациональным).

Действия над положительными действительными числами сводятся к действиям над положительными рациональными числами. В связи с этим для каждого положительного действительного числа вводят его приближенные значения по недостатку и по избытку.

Пусть даны два положительных действительных числа a и b , an и bn - соответственно их приближения по недостатку, a¢n и b¢n - их приближения по избытку.

Суммой действительных чисел a и b a + b n удовлетворяет неравенству an + bn ≤ a + b < a¢n + b¢n.

Произведением действительных чисел a и b называется такое действительное число a × b , которое при любом натуральном n удовлетворяет неравенству an × bn ≤ a b × b¢n.

Разностью положительных действительных чисел a и b называется такое действительное число с , что a = b + с.

Частным положительных действительных чисел a и b называется такое действительное число с , что a = b × с.

Объединение множества положительных действительных чисел с множеством отрицательных действительных чисел и нулем есть множество R всех действительных чисел.

Сравнение действительных чисел и действия над ними выполняются по правилам, известным из школьного курса математики.

Задача 60. Найти три первых десятичных знака суммы 0,333… + 1,57079…

Решение. Возьмем десятичные приближения слагаемых с четырьмя десятичными знаками:

0,3333 < 0,3333… < 0,3334

1,5707 < 1,57079… < 1,5708.

Складываем: 1,9040 ≤ 0,333… + 1,57079… < 1,9042.

Следовательно, 0,333… + 1,57079…= 1,904…

Задача 61. Найти два первых десятичных знака произведения a × b , если а = 1,703604… и b = 2,04537…

Решение. Берем десятичные приближения данных чисел с тремя десятичными знаками:

1,703 < a <1,704 и 2,045 < b < 2,046. По определению произведения действительных чисел имеем:

1,703 × 2,045 ≤ a × b < 1,704 × 2,046 или 3,483 ≤ ab < 3,486.

Таким образом, a × b = 3,48…

Упражнения для самостоятельной работы

1. Запишите десятичные приближения иррационального числа π = 3,1415… по недостатку и по избытку с точностью до:

а) 0,1; б) 0,01; в) 0,001.

2. Найдите первые три десятичных знака суммы a + b , если:

а) а = 2,34871…, b = 5,63724…; б) а = , b = π; в) а = ; b = ; г) а = ; b = .

В данной статье собраны основные сведения про действительные числа . Сначала дано определение действительных чисел и приведем примеры. Дальше показано положение действительных чисел на координатной прямой. А в заключение разобрано, как действительные числа задаются в виде числовых выражений.

Навигация по странице.

Определение и примеры действительных чисел

Действительные числа в виде выражений

Из определения действительных чисел понятно, что действительными числами являются:

• любое натуральное число ;
• любое целое число ;
• любая обыкновенная дробь (как положительная, так и отрицательная);
• любое смешанное число;
• любая десятичная дробь (положительная, отрицательная, конечная, бесконечная периодическая, бесконечная непериодическая).

Но очень часто действительные числа можно видеть в виде , и т.п. Более того, сумма, разность, произведение и частное действительных чисел также представляют собой действительные числа (смотрите действия с действительными числами ). К примеру, - это действительные числа.

А если пойти дальше, то из действительных чисел с помощью арифметических знаков, знаков корня, степеней, логарифмических, тригонометрических функций и т.п. можно составлять всевозможные числовые выражения, значения которых также будут действительными числами. Например, значения выражений и есть действительные числа.

В заключение этой статьи заметим, что следующим этапом расширения понятия числа является переход от действительных чисел к комплексным числам .

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Определение

Множество действительных чисел является объединением множеств рациональных и иррациональных чисел. Буква R является обозначением рассматриваемого множества. Множество R представляется промежутком вида (- ∞ ; + ∞).

Замечание

Стоит заметить, что любое рациональное число всегда может принимать вид бесконечной десятичной периодической дроби, любое иррациональное число бесконечной десятичной непериодической дроби, исходя из вышесказанного следует вывод, что множество, включающее в себя конечные и бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби принадлежит множеству R .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Геометрическая модель действительных чисел

Координатная прямая непосредственно представляет собой геометрическую модель множества R . Следовательно, каждой точке на координатной прямой всегда можно поставить в соответствие некоторое действительное число.

Сравнение действительных чисел

Сравнение действительных чисел можно производить воспользовавшись либо геометрической моделью, либо их можно сравнивать аналитически. Рассмотрим оба способа сравнения. На координатной прямой расположено в произвольном порядке два числа. Определить, какое из них больше достаточно просто. Большее число всегда находится правее другого.

Аналитически определись какое число является большим или меньшим какого либо числа тоже возможно, для этого достаточно найти разность этих чисел и затем сравнить ее с нулем. Если полученная разность будет иметь положительный знак, то первое число (уменьшаемое разности) будет больше чем второе число (вычитаемое разности); если же разность будет иметь отрицательный знак, то первое число (уменьшаемое разности) будет меньше, чем второе число (вычитаемое разности).

Ниже рассмотрим примеры, демонстрирующие оба способа сравнения:

Пример 1

Сравнить числа f r a c 185 и 4 .

Решение

Для сравнения данных чисел найдем разность этих чисел.

f r a c 185 - 4 = f r a c 185 - f r a c 205 = - f r a c 25 чтобы вычислить данную разность, надо привести данные числа к общему знаменателю, воспользовавшись правилом приведения к общему знаменателю. Проделав данную операцию, видим, что знаменатель в данном примере равен 5. После этого опираясь на правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем, вычтем из числителя первой дроби числитель второй дроби, а знаменатель оставим прежним. Обратим внимание, что разность приведенных чисел является отрицательной, значит первое число (уменьшаемое) меньше второго (вычитаемого), т. е. f r a c 185 < 4 .

Пример 2

Сравнить числа f r a c 185 и 4 с помощью координатной прямой.

Решение

Чтобы сравнить данные числа, следует определить геометрическое место точек этих чисел на координатной прямой. Т.е. сравниваемые действительные числа будут соответствовать определенным координатам на координатной прямой, а именно числам f r a c 185 и 4 . Для начала преобразуем неправильную дробь frac185 в смешанное число т.е. выделим целую часть, следовательно, получим 3 f r a c 35 .

Далее на координатной прямой отметим точки, координаты которых будут равны 3 f r a c 35 и 4 . f r a c 185 содержит в себе 3 целых, значит данное число расположено левее 4. Как уже известно, меньшее число лежит левее, исходя из этого напрашивается вывод, что f r a c 185 < 4 .

Можно сделать вывод, что вне зависимости от внешнего вида сравнения действительных чисел можно реализовать все арифметические операции, а именно сложение, вычитание, умножение и деление. Однако перед выполнением действий с действительными числами следует учитывать исходные знаки данных чисел т.е. определить является каждое число положительными или отрицательными.

Сложение действительных чисел

Чтобы сложить два действительных числа с одинаковыми знаками следует сначала сложить их модули и затем перед суммой поставить их общий знак. Например:

(+ 8) + (+ 2) = + 10 ; (- 5) + (- 4) = - 9 .

Чтобы сложить два действительных числа с разными знаками следует для начала обратить внимание на знак числа, если знак одного из чисел отрицательный, тогда это число следует вычитать из другого, если положительный – сложить с другим. Далее нужно сложить либо вычесть данные числа и поставить знак большего модуля. Например

(+ 2) + (- 7) = - 5 ; (+ 10) + (- 4) = + 6 .

Вычитание действительных чисел

Вычитание действительных чисел можно представить в виде сложения: a - b = a + (- b) , то есть, чтобы вычесть из числа а число b, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Например: (+ 5) - (- 7) = (+ 3) + (+ 7) = 12 ; (+ 6) - (+ 4) = (+ 6) + (- 4) = + 2 .

Умножение действительных чисел

Чтобы умножить (разделить) два действительных числа необходимо умножить (разделить) их модули. И затем перед результатом поставить знак по приведенному в таблице правилу знаков ниже.

При умножении и делении действительных чисел желательно помнить пословицу: «Друг моего друга - мой друг, враг моего врага - мой друг, друг моего врага - мой враг, враг моего друга - мой враг».

Например:

(+ 2) (+ 7) = + 14 ; (- 2) (+ 6) = - 12 ; (- 2) (- 8) = 16 ;

Свойства арифметических действий над действительными числами (основные законы алгебры)

В алгебре существуют так называемые основные законы алгебры. Они практически всегда принимаются за истину (случаи ложности данных законов не рассматриваем) и сформулированы в виде следующих свойств-тождеств:

1. a + b = b + a ;
2. (a + b) + c = a + (b + c) ;
3. a + 0 = a ;
4. a + (- a) = 0 ;
5. a b = b a ;
6. (a b) c = a (b c) ;
7. a (b + c) = a b + a c ;
8. a · 1 = a ;
9. a · 0 = 0 ;
10. a · 1 a = 1 , (a ≠ 0) .

Свойства 1 и 5 выражают переместительный закон (коммутативность) сложения и умножения соответственно;

Cвойства 2 и 6 выражают сочетательный закон (ассоциативность);

Cвойство 7 - распределительный закон (дистрибутивность) умножения относительно сложения;

Cвойства 3 и 8 указывают на наличие нейтрального элемента для сложения и умножения соответственно;

Cвойства 4 и 10 – на наличие нейтрализующего элемента соответственно.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter