Урок «Логарифмические неравенства. Открытый урок решение логарифмических неравенств
Рассмотрим график логарифмической функции и график прямой пропорциональности
Отметим, что функция возрастает на области определения, Без графика это можно определить по основанию логарифма. Для где х>0, если основание логарифма больше нуля, но меньше единицы, то функция убывает, если основание логарифма больше единицы, то функция возрастает.
Важно заметить, что логарифмическая функция принимает положительные значения на множестве чисел, больших единицы, запишем это утверждение с помощью символов f(x) при x
Прямая пропорциональность y= x в этом случае на промежутке от одного до плюс бесконечности тоже принимает положительные значения, большие одного. Совпадение это или закономерность? Обо всём по порядку.
Неравенства вида называются логарифмическими, где а — положительное число, отличное от 1 и >0,)>0
Преобразуем неравенство к виду. При переносе слагаемых из одной части неравенства в другую знак слагаемого меняется на противоположный. По свойству логарифма, разность логарифмов с одинаковым основанием можно заменить логарифм частного, таким образом, наше неравенство примет вид.
Обозначим выражение t , тогда неравенство примет вид.
Рассмотрим это неравенство относительно основания а, большего единицы, и относительно основания а, большего нуля и меньшего единицы.
Если основание логарифма а, большего единицы, то функция возрастает на области определения и принимает положительные значения при t больше одного. Вернемся к обратной замене. Значит, дробь должна быть больше одного. Это означает, что f(x)>g(x).
Если же основание логарифма, большего нуля и меньшего единицы, тофункция убывает на области определения и принимает положительные значения при t больше нуля и меньше одного. При обратной замене неравенство равносильно неравенству, а оно выполняется при f(x) Сделаем вывод: Если)>0 и при a>1 логарифмическое неравенство равносильно неравенству того же смысла)>), а при 0 Равносильно неравенству противоположного смысла)<) Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств. Решить неравенство: Неравенства >0 и область допустимых значений переменной для данного логарифмического неравенства. Основание логарифма пять и оно больше одного, значит исходное неравенство равносильно неравенству. Решим полученную систему неравенств путем уединения переменной для этого. В первом неравенстве перенесем четыре в правую часть неравенства, поменяв знак минус на плюс. Получим. Во втором неравенстве единицу перенесем в правую часть и запишем как минус один. Получим неравенство В третьем неравенстве минус четыре перенесем в правую часть, запишем как плюс четыре, а х
перенесем в левую часть и запишем как минус икс. Получим неравенство. В нём можно привести подобные слагаемые в левой и правой частях неравенства. Получим неравенство. В первом неравенстве поделим левую и правую часть неравенства на 2. Получим неравенство. Полученная в ходе решения система имеет знак одной направленности, в таких случаях очевидно, что данной системе удовлетворяет множество чисел больше пяти. Легко увидеть, что пять тоже удовлетворяет системе неравенств. В противном случае можно построить геометрическую модель данной системы и посмотреть решение. Отметим на координатной прямой числа минус один, два и пять. Причем числам -1 и 2 будет соответствовать светлая точка, а числу пять — темная точка. Нанесем «штриховку» справа от 2 для первого неравенства, справа от 1 — для второго неравенства и справа от пяти — для третьего неравенства. Пересечение штриховок указывает на множество чисел, больших и равных пяти. Ответ запишем в виде выражения Пример 2. Решить неравенство Составим систему неравенств. Неравенства >0 и >0 определяют область допустимых значений неравенства. Основание логарифма равно 0,3, оно больше нуля, но меньше одного, значит логарифмическое неравенство равносильно неравенству с противоположным по смыслу знаком: Полученная система трудна для параллельного решения неравенств. Решим каждое из них отдельно и рассмотрим общее решение на геометрической модели. Неравенство является квадратным и решается по свойствам квадратичной функции, графиком которой является парабола с ветвями вверх. Найдем нули данной функции, для этого её правую часть приравняем к нулю и решим полученное уравнение через разложение на множители. Для этого вынесем общий множитель икс за скобки, в скобках останется от первого слагаемого — шесть, от второго слагаемого — минус икс. Произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Значит, первый множитель икс равен нулю или второй множитель шесть минус икс равен нулю. Тогда корни уравнения — ноль и шесть. Отметим их на координатной прямой в виде светлых точек, так как решаемое квадратное неравенство строгое и изобразим параболу ветвями вниз, проходящую через эти точки. Квадратичная функция принимает положительные значения на интервале от нуля до шести, значит решением неравенства является множество чисел x
Неравенство является линейным. Оно содержит отрицательные слагаемые, для удобства обе части неравенства умножим на минус единицу. Знак неравенства в этом случае поменяется на противоположный. Получим неравенство. Перенесём восемь в правую часть неравенства и запишем как минус восемь. Таким образом, решением неравенства является множество чисел от минус бесконечности до минус восьми. Запишем решение неравенства в иде выражения x
.
Неравенство сводится к квадратному неравенству, для этого перенесем минус восемь и минус икс в левую часть неравенства. Получим неравенство и приведем подобные 6х и х, Получим 7х, уравнение примет вид. Решается оно по свойствам квадратичной функции графиком которой является парабола с ветвями вниз. Найдем нули функции.0 при =0 и решим полученное квадратное уравнение через формулу дискриминанта Так как коэффициент b
равен минус семи, коэффициент а
равен минус единице, а с
равен 8 то дискриминант уравнения равен 81. Найдем по формуле первый корень, он равен -1, второй корень равен 8. Отметим полученные значения на координатной прямой темными точками, так рассматриваемое квадратное неравенство относится к нестрогим неравенствам. Изобразим на координатной прямой параболу с ветвями вниз. Квадратичная функция принимает меньшие и равные нулю значения на множестве чисел от минус бесконечности до включая и от 8 до плюс бесконечности включая 8. Решение этого неравенства запишем в виде выражения ] Итак, все три неравенства решены, отметим их решения на одной координатной прямой. Значения переменной, которые бы удовлетворяли всем трём неравенствам одновременно, нет, что означает, что исходное логарифмическое неравенство не имеет решений. Ответ: решений нет. Этот факт можно было заметить после решения линейного неравенства, так как решением первого квадратного неравенства являются положительные числа от одного до шести, а решением второго неравенства являются отрицательные числа, то для этих двух неравенств уже нет общих решений и исходное логарифмические неравенство не имеет решений. Логарифмы обладают интересными свойствами, упрощающие вычисления и выражения, вспомним некоторые из них Пример 3. Решить неравенство: Неравенство нужно преобразовать к виду. Для этого единицу запишем в виде логарифма 2 по основанию два. А влевой чатси неравенства сумму логарифмов заменим по свойству на тождественно равное ему выражение — логарифм произведения. Получим неравенство вида Составим систему неравенств. Неравенства, задающие область допустимых значений неравенства, опрелеяются по исходному неравенству, поэтому >0 и >0 будут первыми двумя неравенствами системы. Так как логарифм имеет основание 2, оно больше одного, то неравенство В первом неравенстве перенесем минус три в правую часть, получим неравенство х>3, во втором — минус два перенесем в правую часть, получим неравенство х>2. В третьем — раскроем скобки в левой части неравенства, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена. Получим неравенство. Решим третье неравенство отдельно: перенесем два в левую часть неравенства и запишем с минусом. Упростим полученное нравенство до вида. Сумма коэффициентов этого уравнения равна нулю, тогда, по свойству коэффициентов, первый корень равен одному, а второй равен частному от с на а
и равен в данном случае 4. Эти уравнения можно решить и через формулу дискриминанта, корни от способа решения не зависят. Отметим эти корни на координатной прямой в виде тёмных точек, проведем через них параболу ветвями вверх. Неравенство выполняется на множестве чисел от 1 до 4 включая 1 и 4. Отметим на одной координатной прямой решение первого и второго неравенства, для этого сделаем штриховку правее трех для первого неравенства и правее двух для второго неравенства и штриховку от 1 до 4 для второго неравенства. Три неравенства одновременно выполняются только на множестве чисел от 3 до 4, включая 4. Значит, это и будет решение исходного логарифмического неравенства. Вывод: При решении логарифмических неравенств Если a>1 , то переходят к решению системы из неравенств, определяющих область допустимых значений неравенства, и неравенства подлогорифмических выражений того же знака. Если 0 Мишенькина Татьяна Ивановна IV.При решении неравенства №4 возникает вопрос: как решить? Учитывая свойства логарифмической функции, нужно рассмотреть 2 случая: урок повторения и обобщения материала по теме "Решение логарифмических уравнений и неравенств", а также подготовки к ЕГЭ по данной теме.На уроке осуществляется системно- деятельностный подход обучения математике. Аннотация к уроку: Данный урок предназначен для учащихся 11 класса средней школы, профильного уровня изучения предмета.по учебнику А.Г. .Мордкович, Семенов П.В. Алгебра и начала анализа, 11. Часть 1. Учебник. Мнемозина, 2011. А.Г. Мордкович,Семенов П.В. и др. Алгебра и начала анализа, 11. Часть 2. Задачник. Мнемозина, 2011. Урок занимает 3 место по теме «Повторение темы «Логарифмы, логарифмические уравнения и неравенства». На уроке внимание сконцентрируется на выполнение тестовых заданий из открытого банка ЕГЭ по данной теме. Урок спланирован с учетом деятельностного подхода в обучении математики. Формы работы- групповая, индивидуальная. На первоначальном этапе «Введение» - актуализации знаний, преподаватель использует компьютерные презентации – эффектный метод представления и изучения любого материала: программу «Своя игра» для теоретического повторения и презентацию для устной практической работы по выявлению методов решения логарифмических уравнений и неравенств, что позволило обеспечить наглядность, динамичность, более высокий уровень и объём информации по сравнению с традиционными методами. При этом надо учесть, что все задания взяты из открытого банка –задания в7. При работе над темой прослеживается дифференцированная индивидуальная работа на доске по открытому банку- задания в7 и с1. С помощью программного обеспечения: Advanced Grapher 2.2, представляется функционально-графический метод решения уравнений и неравенств. На этом уроке проводится групповая работа промежуточный контроль в виде теста. При закреплении решаются задания повышенной сложности- с3 из открытого банка ЕГЭ. Работа по перфокартам осуществила дифференцированный подход на этом этапе изучения. Интересным видом работы является оценка в виде эксперта решенных учащимся заданий по критериям. В процессе всего урока использовался метод самопроверки учащихся. Сверяясь с правильными ответами, которые демонстрировались на слайдах, учащиеся имели возможность выявить ошибки и пробелы знаний по данной теме. Осуществляется проверка уровня обладания учащимися изученного материала, который они могли оценить сами, в процессе взаимопроверки и выставления взаимооценки. Цель
Задачи
: Образовательные: Личностные: Метапредметные: Тип урока: урок повторения. Формы урока:
Методы и приемы
Оборудование:
Компьютер на уроке является средством, позволяющим учащимся лучше познать самих себя, индивидуальные особенности своего учения, способствует развитию самостоятельности. Учащийся может наблюдать на экране, что получается после осуществления той или иной операции, как меняется значение выражения, когда меняется тот или иной параметр. Использование компьютерных технологий в обучении математике позволяет дифференцировать учебную деятельность на уроках, активизирует познавательный интерес учащихся, развивает их творческие способности, стимулирует умственную деятельность.
На уроке во всех этапах осуществляется деятельный подход- средство достижения нового качества образования. На уроке работают ученики, роль преподавателя- роль помощника, наставника. Конспект урока может быть использован учителями старших классов на уроке математики при повторении курса «Алгебра и начала анализа», на элективных занятиях по подготовке к ЕГЭ.. Решить неравенство: Log
5 (х
-1)+
log
5 (х+3)1 Решение: ОДЗ: Х….. Log
5 (х
-1)(Х+
3)= Log
5 5, a
…..1, Х 2 +
2Х-35; Х 2 +
2Х-80; С учетом ОДЗ получим х €……. Ответ:…….. 2. Решить неравенство: Log
2 5 х+log
0.2 х Решение: ОДЗ: Х…… Log
2 5 х-……… Пусть Log
5 х=t
, тогда t 2 -…..-2……0, …..t
……; 1)Log
5 х….;х…..;2) Log
5 х C
Учетом ОДЗ: Ответ:….. . 3.Решить неравенство: Log 6 (х 2 -3х+2)≥1. ОДЗ: Х….. . Log 6 (х 2 -3х+2) ≥ Log 6 6; (х 2 -3х+2)….6 (так как ….), х2-3х-4…0, х € … и ….. . c
учетом ОДЗ: х € … и ….. Ответ: ………….. 1
задание. Решить уравнение: 13 2. 6 3. -6 4 . 13 2
задание. Решить неравенство: Log
0.2
(x+3)
0.2
(3x-15)
(5
;9) 2)
X-3
3)x 4) x
5
3 задание. Решить уравнение: 1)5 2)-13 3)-5 4)13 Log
8 2 x
+log
8 x
-2 (-∞;-1/64) и(8;∞) 2) (-1/64;8) 3)(2;8) 4) (-2;8)
Выполните задания и для каждого из них закрасьте клетку таблицы, соответствующую номеру правильного ответа. Задание/№ ответа Задание/№ ответа 2 задание 3 задание 4 задание Задание/№ ответа 2 задание 3 задание 4 задание Задание/№ ответа 2 задание 3 задание 4 задание Задание/№ ответа 2 задание 3 задание 4 задание Задание/№ ответа 2 задание 3 задание 4 задание Комментарий
. Решение явно не пустое, но оценка – нулевая. Действи- тельно, система неравенств для ОДЗ выписана верно, но решена неверно. В преобразованиях как минимум две ошибки: сначала под знаком логарифма в правой части теряется множитель 3, а затем (см. 5–6 строки снизу) при «умножении неравенства» на –1 знак сохраняется. Оценка эксперта:
0 баллов. Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного только конеч- ным количеством значений переменной, при которых определены обе части исходного неравенства. Произведен переход от исходного неравенства к неравенствам, которые не содержат логарифмов и являются следствиями исходного неравенства. Возможно, ограничения, при которых исходное нера- венство имеет смысл, отсутствуют или найдены неверно. Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. 0
Максимальный балл
3
Оценка эксперта:
0 баллов. Комментарий
. Можно ли предъявить к этому решению претензии по оформлению? Разумеется: и нет вообще никаких слов-пояснений, и стрелки при нахождении ОДЗ стоят не стандартно, и преобразования в левой части неравенства излишне краткие, и в последней строке решения должно быть ⇔ , а не ⇒ , и т. п. Повлияют ли эти замечания на итоговую оценку? Нет, это решение на максимальный балл. Оценка эксперта:
3 балла. Открытый урок по теме «Повторение. Решение логарифмических уравнений и неравенств»
в 11 классе МБОУ «Новокинерский лицей» Арского муниципального района Республики Татарстан Тухфатуллина Лейля Рауфона, Тема: «Повторение. Решение логарифмических уравнений и неравенств» Цель
:1) Обобщить знания учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств», 2) систематизировать способы решения логарифмических уравнений и неравенств; 3) развивать логическое мышление, навыки групповой работы, навыки само и взаимоконтроля и применение математических знаний при решении задач с целью подготовки к ЕГЭ. 4) способствовать воспитанию интереса к науке, истории математики. Задачи
: Образовательные: Показать применение основных формул и методов при решении логарифмических уравнений и неравенств; Предоставить каждому ученику проверить свои знания и умения и повысить их уровень; Воспитание положительного отношения к учебе, настойчивости в достижении целей, интереса к математике. Личностные: Развитие логического и критического мышления; Метапредметные: Создание условий для приобретения первоначального опыта математического моделирования. Тип урока: комбинированный. Формы урока:
фронтальная, групповая, дифференцированная, индивидуальная. Методы и приемы
: наглядно-иллюстративный, репродуктивный, частично-поисковый, практический. Оборудование:
проектор, карточки для самостоятельной и групповой работы, ноутбук с компьютерном обеспечением: Advanced Grapher 2.2, Copyright © 1998-2009 Alentum Software, Inc.,сеть INTERNET
,Сайт «Решу ЕГЭ математика», цветные кружочки для рефлексии. План урока. 1.Организационный момент. Объявление темы, цели урока. Запись темы в тетради. Озвучивание девиза урока. Разделение на групп, объявление экспертов групп, консультантов и членов групп. 2.Введение. А) своя игра по номинациям: - «История логарифмов». Выбор вопросов и ответы по историческому материалу, связи между логарифмической спирали и природой. - «Проще простого»,- устные упражнения по теме «Решение логарифмических уравнений, решаемые с применением определения логарифма» из открытого банка ЕГЭ часть В,(В7). -«Вычисления»- устные упражнения по теме «Вычисления логарифмических выражений». - «О функция, как ты важна…»- устные упражнения по теме «Логарифмическая функция». б) Воспроизведение опорных знаний. Фронтальный опрос по методам решения логарифмических уравнений и неравенств. Устная практическая работа по нахождению методов решения уравнений и неравенств по готовым решениям(работа по презентации). 3.Работа над новой темой. А) В гостях у части В- работа по открытому банку ЕГЭ- решение логарифмических уравнений на доске (индивидуальная работа со слабыми учениками- членами группы). Проверку осуществляет учитель. Одновременно работа на местах. Каждая группа получает общее задание-решение логарифмических уравнений различными методами в виде теста. Ученик, выполнив задание закрашивает номер правильного ответа в общем ответе-в таблице. По готовому ответу эксперт проверяет ответы группы, докладывает преподавателю. Б) Выступление подготовленного ученика. Представление функционально- графического метода решений уравнений и неравенств по программе Advanced
Grapher
. В) Задание по группам. В решениях логарифмических неравенств, в основании которых числа- заполнить пропуски, чтоб получилось верное решение. Г) Одновременно «Математический поединок» экспертов групп на доске- решение логарифмических неравенств, содержащих в основании переменную из части С3. Д) Работа в группах « Экспертом задач» Проверка, перевод в тестовые баллы готовых решений учащихся. 5.Подведение итогов. а) Домашнее задание. б) Рефлексия. Ход урока. 1.Организационный момент. Здравствуйте, ребята. Поприветствуйте друг друга, улыбнитесь. Вы- хорошая команда. Приступаем к работе. Открывая тетради, запишем сегодняшнее число, пишем тему «Повторение. Решение логарифмических уравнений и неравенств». Цель нашего урока - применяя различные методы и приемы, повторение решений логарифмических уравнений и неравенств, подготовка к ЕГЭ. Девиз нашего урока - «Дорогу осилит идущий, а математику - мыслящий» . Мы добровольно разделились на группы, поприветствуем экспертов групп, консультантов, членов групп. И так, приступаем… 2.Введение.
Прежде чем приступить к серьезным задачам, поиграем в «Свою игру». Каждая команда по очереди выбирает из таблицы задания, которые оцениваются баллами. Если команда не знает ответ, то отвечает другая команда.Если не правильный ответ- очки вычитаются. Игра продолжится до 5 минут. Побеждает та команда, у которой больше очков. Счетчиком каждой команды является эксперт группы. История логарифмов-20
.Кто ввел понятие логарифма? Ответ- Шотландский математик Джон Неппер (1550-1617). История логарифмов-40
.Что означает термин логарифм? Ответ- число отношений. История логарифмов- 60
.Определение логарифма. История логарифмов-80
.Примеры логарифмической зависимости в природе. Ответ: По логарифмической спирали растут раковины моллюсков, улиток. Рога горных коз закручены по логарифмической спирали. Пауки закручивают свои нити по логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручена наша Галактика. История логарифмов-100
. Какой вид искусства применяет в своей практике логарифмическую спираль? Ответ: В изобразительном искусстве. Например, картина Вермера «Кружевница» построена по логарифмической спирали. Вычисления-20
.Вычислить Log
π
1
Вычисления-40
.Вычислить 3 2 log
3 4 + log
1,2 tg
Вычисления 60.
Вычислить. Вычисления-80
.Вычислить Вычислить-100.
Вычислить Проще простого-20
. Решить уравнение: log
4 (x
+7)=2 Ответ:9. Проще простого-40
.Решить уравнение: log
4 (x
+3)=log
4 (4x
-15) ответ:6 Проще простого-60
Решить уравнение:log
4 (x
+8)=log
4 (5x
-4) ответ: 3 Проще простого-80
. Решить уравнение:log
5 (5-X
)=2log
5 3 ответ: -4 Проще простого-100
. Решить уравнение:log
x
-5 49=2 Если уравнение имеет более одного корня,то в ответе укажите меньший из них.ответ:12(корень уравнения -2 не удовл условию х-50) Для подведения итогов слово предоставляется экспертам групп. Б) Фронтальный опрос по презентации
1)Вспомним,какие уравнения называются логарифмическими. 3)Определение логарифмических неравенств. 4)Решение логарифмических неравенств. В) Практическая работа по определению методов решения логарифмических уравнений и неравенств (работа по презентации) Одновременно «слабые» к доске по В7- работа по карточкам log
0.5 (х-3)1. lg
(х-2)+lg
(х+2)lg
96. log
x
3+2log
3x
3-6log
9x
3
log
x
(3x-1/x
2
+1)0.
3.Работа над новой темой
. А теперь я приглашу членов групп на доску. Работаем над открытым банком задания в7,с1. В7.№77381.Решить уравнение: Log
5 (7-x
)=log
5 (3-х)+1. В7.№26659.Решить уравнение: Log
5 (5-x
)=2log
5 3 С1. №
500467. а) Решить уравнение: Log
2 (cosx
+sin
2x
+8)=3 б)найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку (3п/2;3п
] с1.№ 502053.Решить уравнение:
а)1+log
2 (9x
2 +5)=log
2 0.5 (8x
4 +14) 0,5 б) найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку (-1;8\9]. Одновременно работаем на местах. Каждой группе я раздаю общее задание-решение логарифмических уравнений различными методами в виде карточек-теста. Каждая член команды, выполнив задание, закрашивает номер правильного ответа в общем ответе-в таблице. Решить уравнение и неравенства: 3. 4. Log
8 2 x
+log
8 x
-2 Задание/№ ответа По готовому ответу эксперт проверяет ответы группы, докладывает преподавателю. Б) Ребята, мы не вспомнили о графическом решении логарифмических уравнений и неравенств. Фахрутдинов покажет это решения по программе Advanced
Grapher
. (Выступление подготовленного ученика) В)Физкультминутка. 4.Закрепление
. Конечно, самым сложным для нас считается решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма.Вспомним метод рационализации или метод композиции,или метод замены множителей. А теперь я приглашу на доску экспертов групп «Математический поединок». Решаем неравенстваС3 из открытого банка ЕГЭ. Так как доски не хватит, пусть 2 эксперта решают на местах №484583.Решить неравенство: Log
x
3+2log
3 x
3-6log
9 x
3≤0 log
Ix
+2 I
(4+7 x
-2 x
2) ≤2 ]Ребята, поработаем в группах. Я вам раздаю задания- решения логарифмических неравенств с пропусками. Ваша задача - заполнить пропуски, не переписать решение. Проверяем по ответам, докладываем 2 эксперту. Эксперт докладывает учителю. Решить неравенство: Log
5 (х
-1)+
log
5 (х+3)1 Решение: ОДЗ: Х….. Log
5 (х
-1)(Х-3)= Log
5 5, a
…..1, С учетом ОДЗ получим х €……. Ответ:…….. 2. Решить неравенство: Log
2 5 х+log
0.2 х Решение: ОДЗ: Х…… Перейдем во втором слагаемом к основанию 5: Log
2 5 х-……… Пусть Log
2 5 х=t
, тогда t 2 -…..-2……0, …..t
……; 1)Log
5 х….;х…..;2) Log
5 х C
Учетом ОДЗ: Ответ:….. . 3.Решить неравенство: Log 6 (х 2 -3х+2)≥1. ОДЗ: Х….. . Log 6 (х 2 -3х+2) ≥ Log 6 6; (х 2 -3х+2)….6 (так как ….), х2-3х-4…0, х € … и ….. . Ответ: ………….. Д) Предлагаю вам роль экспертов проверки ЕГЭ. Перед вами- готовые решения с3 из предыдущих реальных ЕГЭ. Проверьте и оцените, на сколько баллов соответствует данная работа по критериям. Конечно,0 баллов. Ответ верен? Нет, значит – это не 3 балла. Решение содержит обоснованный переход от исходного неравенства к простейшему логарифмическому неравенству? Нет, в преобразованиях есть ошибка, из-за которой не получилось 2+2, а получилось 2–2. Значит, это не 2 балла. Произведен ли верный переход к логарифмам с одинаковым основанием? Да, но при этом не« …найдены все значения переменной, при которых неравенство имеет смысл». Кроме того, полученное простейшее логарифмическое неравенство не является«…следствием исходного неравенства». Значит, это и не 1 балл. Оценка эксперта:
0 баллов. 5.Подведение итогов. А)Выставление оценок экспертами групп, учителем. Б) Рефлексия. Если вы довольны собой - зеленый кружочек; Если вы не довольны чем то- красный; Если вы в целом довольны, но знаете что надо подтянуться - синий кружочек. История логарифмов Стоимость вопроса Вычисления О Функция, как ты важна! Проще простого История логарифмов-20 Кто ввел понятие логарифма Шотландский ученый Джон Непер (1550-1617) История логарифмов-40 Что означает термин «логарифм» ? Термин "логарифм" (logarithmus) принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов: logos - "отношение" и ariqmo - "число", которое означало "число отношений". История логарифмов-60 Определение логарифма История логарифмов-80 Пример логарифмической зависимости в природе По логарифмической спирали растут раковины моллюсков, улиток. Рога горных коз закручены по логарифмической спирали. Пауки закручивают свои нити по логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручена наша Галактика. История логарифмов-100 Какой вид искусства применяет в своей практике логарифмическую спираль? В изобразительном искусстве. Например, картина Вермера «Кружевница» построена по логарифмической спирали. Вычисления- 20 Вычислить: Вычисления - 40 Найти значение выражения: 3 2 log 3 4 + log 1,2 tg45 ° Вычисления - 60 Вычислить: Вычисления - 80 Найти значение выражения: Вычислить - 100 Найти значение выражения: О функция, как ты важна - 40 Через какую точку проходят все логарифмические функции? Проходят через точку (1;0) И в том еще у графика соль, Что в правой полуплоскости он «стелется», А в левую попасть и не надеется О функция, как ты важна… - 100 Какой из графиков является графиком функции Проще простого - 60 Решить уравнение: Log 4 (x+8)=log 4 (5x-4) Проще простого - 80 Решить уравнение: log 5 (5- X)=2 log 5 3 3 тур
2 тур
Стоимость вопроса Расскажи мне.расскажи В гостях в части В Методы решения Решаем уравнения и неравенства Расскажи мне, расскажи - 100 переходом к уравнению Потенцированием. Метод введения новой переменной. Функционально-графический метод. Методом логарифмирования Ч ьи эти слова: «Идите, идите вперед,уверенность придет к вам поздже.» МБОУ «Новокинерский лицей» Арского муниципального района РТ «Проще простого» Вычисли устно: При решении логарифмических неравенств необходимо: 1. Применять свойства логарифмов.
2. Использовать свойства монотонности логарифмической функции.
3.Применять метод рационализации (декомпозиции, метод замены множителей)
Расскажи мне, расскажи… Как называется метод решения логарифмических уравнений переходом к уравнению Расскажи мне, расскажи… Log 2 5 х+log 0.2 х= 2. В гостях у части В Работа на доске Групповая работа по карточкам: закрасить клетку таблицы, соответствующий номеру правильного ответа Функционально- графический метод Решение уравнений и неравенств функциональн0-графическим способом «Математический поединок» экспертов групп № 484583.Решить неравенство: Log x 3+2log 3x 3-6log 9x 3≤0 log Ix+2I(4+7x-2x 2) ≤2 Проверяй решения Решить неравенство: Log 5 (х-1)+log 5 (х+3)1 Решение: ОДЗ: Х 1 . Log 5 (х-1)(Х+3)= Log 5 5, Х-4 …… ;Х 2 ………. С учетом ОДЗ получим х € (2;∞)
. Проверяй решения 2. Решить неравенство: Log 2 5 х+log 0.2 х Решение: ОДЗ: Х 0
…… Перейдем во втором слагаемом к основанию 5: Log 2 5 х- Log 5 x Пусть Log 5 х=t, тогда t 2 - t
-2 0,
1)Log 5 х -1
; х 0.2
;2) Log 5 х2 ; х25 C Учетом ОДЗ: Проверяй решения Решить неравенство: Log 6 (х 2 -3х+2)≥1. Log 6 (х 2 -3х+2) ≥ Log 6 6; (х 2 -3х+2) ≥
6 (так как а1), х2-3х-4 ≥
0, х € (-∞ ;-1)
… и (4; ∞) .
С учетом ОДЗ:
Подведение итогов Домашнее задание- решение новых апрельских вариантов по сайту «Решу ЕГЭ» Выставление оценок Рефлексия Урок №1
Название предмета
Алгебра и начала математического анализа.
Класс
:11
УМК А
лгебра и начала математического анализа. Мордкович А.Г.,2011г.
Уровень обучения
базовый
,
Тема урока
: Логарифмические неравенства
Общее количество часов, отведенное на изучение темы 3
Цель урока:
Организовать деятельность учащихся по изучению новой темы;
Ввести понятие логарифмического неравенства; сформулировать и доказать теорему о равносильном переходе к системе неравенств; формировать умение решать логарифмические неравенства переходом к равносильной системе неравенств.
Формировать умение решать логарифмические неравенства методом подстановки и с помощью свойств логарифма.
Предметные умения
:
1.Знание различных методов решения логарифмических неравенств:
Сведение неравенств к равносильной системе или совокупности систем;
Расщепление неравенств;
Метод интервалов;
Введение новой переменной;
Метод рационализации.
-
устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом.
Техническое обеспечение урока
мультимедийный проектор
Содержание урока
I
Организационный момент.
II
Атуализация знаний.
Устная работа
Что называется логарифмом.
Перечислите свойства логарифмом.
3. Представить в виде логарифма с основанием 2 число. (Слайд 2)
а) 16; б) 64; в)
;
4. Вычислите.
а) log
3
+ log
3
45;
б)
;
в)
;
5. Вспомним основные свойства логарифмической функции.
Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях
1. Область определения:
;
2. Область значений:
;
3. Функция монотонна на всей своей области определения. При
монотонно возрастает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности,
). При
монотонно убывает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция убывает от плюс до минус бесконечности,
).
III
. Объяснение нового материала
Определение:
Неравенства, которые содержат переменную под знаком логарифма или в его основании, называются логарифмическими.
Решение
логарифмических неравенств
основывается на свойстве монотонности логарифмической функции.
1. Неравенство в случае, если сводится к равносильному неравенству . Если же - то к неравенству .
Аналогично неравенство равносильно неравенствам для : ; для : .
Пример 1:
Задание. Решить неравенство
Решение. ОДЗ:
Учитывая выше написанное, получаем, что заданное логарифмическое неравенство равносильно неравенству:
В пересечении с ОДЗ получаем, что
Ответ:
2.
.
Неравенство необходимо решать, применяя эквивалентные, равносильные преобразования. Рассмотрим схему. Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, большим единицы, помним, что функция монотонно возрастает. Отсюда:
Например:
Рис. 2. Иллюстрация решения примера
Ответ:
3.
Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма
.
Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, лежащим в пределах от нуля до единицы, помним, что функция монотонно убывает. Отсюда:
При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:
Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство
, поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел. Получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:
Например:
Рис. 3. Иллюстрация решения примера
Ответ: нет решений
IV
. Закрепление.
№ 45.4.
а) log
5
x
> log
5
(3
x
– 4)
б
) log
0,6
(2
x
– 1) < log
0,6
x
Ответ
: а) 1
<
x
< 2; б)
x
> 1.
При решении этого упражнения особое внимание обращаем на транзитивность двух неравенств из ОДЗ:
Имеем:
x
> 3
x
– 4; 3
x
– 4 > 0
x
> 0.
Получаем, неравенство
x
> 0 лишнее в этой системе, достаточно (1) и (2):
3. № 45.6, № 45.7 (а; б).
Эти упражнения представляют собой логарифмические неравенства, сводящиеся к решению квадратных неравенств.
Вспоминаем
алгоритм
решения квадратного неравенства:
1
шаг
. Решаем соответственное квадратное уравнение
ax
2
+
bx
+ 2
шаг
. Изображаем схематично расположение параболы относительно оси
Oх
в зависимости от знака коэффициента
а
и полученных решений уравнения.
3
шаг
. Определяем графически абсциссы точек, удовлетворяющих неравенству, и записываем ответ.
Решение:
№ 45.6.
а) log
3
(x
2
+ 6) < log
3
5
x
Второе неравенство системы верно для любого
х
.
Решаем отдельно первое неравенство.
x
2
+ 6
x
< 5
x
;
x
2
– 5
x
+ 6 < 0;
x
2
– 5
x
+ 6 = 0;
х
1
= 2;
х
2
= 3.
Значит, решением являются 2 <
х
< 3.
в) lg (x
2
– 8)
lg (2 – 9
x
)
I)
x
2
– 8
2 – 9
x
;
x
2
– 8 – 2 + 9
x
0;
Папка содержит опорные конспекты к уроку, лист самоконтроля, технологическую карту урока, самоанализ урока, презентацию к уроку. Урок был показан на районном семинаре учителей математики и получил высокую оценку. Опорный конспект №1
«Виды неравенств и их решение»
Вид неравенства
Решение
Линейные Квадратичные
Графический метод:
1.Находим корни уравнения 2.Строим на координатной прямой модель параболы (a
0, ветви вверх; а
3.Записываем промежутки в ответ. Рациональные
f(x) 0, f(x) где f(x) – рациональное выражение. Частные случаи:
{n
– чётное, знаки не меняются} Метод интервалов:
1) Представить левую часть неравенства в виде функции у = f(x). 2) Найти область определения функции (при которой эта функция имеет смысл). 3) Найти корни функции (нули функции). 4) Определить интервалы знакопостоянства. 5) Определить знак функции на каждом интервале. 6) Выписать значения х, при которых неравенство верно. 1) Иррациональные
с чётной степенью
Иррациональные с нечётной степенью
Показательные
Логарифмические
Тригонометрические
: При решении используют тригонометрическую окружность или график соответствующей функции С модулем:
1) |x
| a
2) |x
|a
1) -a
2) Опорный конспект №4
Определение:
Логарифмом положительного числа b
по положительному и не равному единице основанию а
называется показатель степени, в который нужно возвести число а
, чтобы получить b
. О Логарифмическая функция:
, где Технологическая карта урока
Мелехина Галина Васильевна
, учитель математики МАОУ «Платошинская средняя школа». Предмет
Математика Класс
11 (профильная группа) Тип урока
Урок повторения, систематизации и дополнения знаний. Форма урока
Урок-практикум с элементами исследования. Формы организации учебной деятельности
Фронтальная, коллективная, парная. Техническое обеспечение
Компьютер, проектор, презентация. Методы обучения
Частично-поисковый, рефлексивный. Тема
Решение логарифмических неравенств. Метод рационализации.
Цели
Образовательные
: закрепление и систематизация знаний о логарифмических неравенствах. Развивающие:
формирование у учащихся навыков решения логарифмических неравенств различными методами, применение знаний при решении заданий С3 ЕГЭ, развитие умений нахождения рационального способа решения, формирование УУД. Воспитательные:
воспитание уверенности, культуры устной и письменной речи, ответственности, интереса к предмету. Литература
Алгебра и начала математического анализа. 11класс. В 2 ч. Ч.1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов – М. : Мнемозина, 2008.-287с. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Математика. ЕГЭ 2011(типовые задания С3).Методы решения неравенств с одной переменной. Лысенко Ф.Ф., Кулобухова С.Ю. Математика. Неравенства (профильный уровень), тренажёр. – Ростов-на-Дону: Легион, 2015г. Мастер-класс по теме «Неравенства», ЕГЭ-студия Анны Малковой (г.Москва). Планируемые результаты
Предметные умения
: 1.Знание различных методов решения логарифмических неравенств: Сведение неравенств к равносильной системе или совокупности систем; Расщепление неравенств; Метод интервалов; Введение новой переменной; Метод рационализации. Личностные УУД:
Самоопределение; определять правила работы в парах; Применять волевую саморегуляцию (мобилизация на решение проблемы); -
Регулятивные УУД:
Определять и формулировать цель деятельности на уроке; Проговаривать последовательность действий на уроке; работать по плану, инструкции; Высказывать свое предположение на основе учебного материала; Осуществлять самоконтроль и взаимоконтроль; Уметь самостоятельно контролировать своё время и управлять им. Познавательные УУД:
Находить ответы на вопросы поставленные учителем; Проводить анализ учебного материала; Проводить, сравнение, классификацию, указывая на основания классификации; Создавать и преобразовывать модели и схемы для решения неравенств; Находить рациональные методы решения. Коммуникативные УУД:
Слушать и понимать речь других; -
умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли; Владеть монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка. Дидактические задачи этапов урока
Этапы урока
Время
Дидактические задачи
Организационный момент
Обеспечение комфортных условий для работы на уроке: создание благоприятной психологической атмосферы, настрой на совместную работу. Постановка учебных целей, формулировка темы урока
Обеспечение мотивации для принятия обучающимися цели учебно-познавательной деятельности. Создание условий для формулировки цели урока и постановки учебных задач. Повторение теоретической базы
Обеспечение восприятия, осмысления и запоминания знаний, связей и отношений в объекте изучения. Актуализация опорных знаний
Активизация соответствующих мыслительных операций и познавательных процессов. Практикум по решению неравенств
Систематизация умений применять различные методы решения неравенства, построение алгоритма решения. Исследование
Постановка проблемы, осмысление, вывод нового знания. Первичное закрепление
Первичный контроль усвоения нового знания, коррекция усвоения. Рефлексия учебной деятельности
Анализ и оценка успешности достижения цели; выявление качества и уровня овладения знаниями. Итог урока
Постановка учебной задачи для домашнего задания. Технология изучения
Этапы урока
Формируемые умения
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
Организационный момент Личностные УУД:
самоопределение Девиз: «Секрет успеха - в мелочах»
Вопрос:
Какого успеха хотели бы вы добиться и от каких мелочей он будет зависеть? (сл. №1) Учащиеся отвечают на вопрос. Постановка учебных целей, формулировка темы урока Регулятивные УУД:
уметь определять и формулировать цель деятельности на уроке. Коммуникативные УУД:
четко и ясно излагать свои мысли. Анализ домашнего задания.
Какие виды неравенств вызвали наибольшие затруднения? Назовите причины. Как справиться с проблемой? Остановимся сегодня на неравенствах, содержащих логарифмические выражения. Опираясь на наш девиз, сформулируйте тему и цель урока. Учитель, если нужно, корректирует ответы учащихся.
Запишите число и тему урока в тетради. Учащиеся отвечают на вопросы. Учащиеся предлагают свои варианты и проговаривают тему и цели урока. Тема:
«Решение логарифмических неравенств». Цели:
распределять время; правильно оформлять работу; выработать волевую саморегуляцию (умение мобилизировать себя на решение проблемы) Повторение теоретической базы Регулятивные УУД:
адекватно самостоятельно оценивать правильность выполнения действий; уметь самостоятельно контролировать своё время и управлять им. Учитель предлагает вспомнить: основные виды неравенств и способы их решения (опорный конспект №1); равносильные преобразования при решении неравенств (ОК №2); методы решения неравенств (ОК №3); понятие логарифма, логарифмическую функцию (ОК №4). Учащиеся индивидуально работают с опорными конспектами: Заполняют лист самоконтроля (блок «Теоретическая база»). Время выполнения – 4 мин.
Актуализация опорных знаний Регулятивные УУД:
Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона; Коррекция - внесение необходимых дополнений и корректив в план и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его результата. (сл. №4 - 6) Учитель предлагает выполнить задания для закрепления теоретического материала: Преобразуйте выражения, используя свойства логарифмов: Представьте число в виде логарифма с основанием 2: а) 4 б) 0 в) - 5 Вычислите выражения: Х
существует логарифм: Учащиеся индивидуально выполняют задания в тетради с последующей самопроверкой (сл. №4-6). Заполняют лист самоконтроля (блок «Повторение»). Время выполнения – 8 мин.
Практикум по решению неравенств Познавательные УУД:
создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач; строить логическое рассуждение. осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий. Коммуникативные УУД:
аргументировать свою точку зрения; использовать адекватные языковые средства для отображения своих чувств, мыслей, мотивов и потребностей; умение выражать мысли, в письменной и устной форме. работать в парах
-
устанавливать рабочие отношения, эффективно сотрудничать и способствовать формированиювыраженной устойчивой учебно-познавательной мотивации и интереса к учению. Предметные результаты:
Решение логарифмических неравенств методом равносильного перехода, расщепления неравенств, методом интервалов, введения новой переменно. Вторая цель урока: вспомнить методы решения логарифмических неравенств. З - Запишите
модель решения простого логарифмического неравенства: Р Задание:
Вам предстоит решить 5 неравенств разными методами. От чего зависит успех решения неравенства? Успех решения зависит от того, видим ли мы план решения. Я предлагаю каждой паре выбрать
одно неравенство и составить (устно) план решения
этого неравенства, а потом озвучить
его так, чтобы остальные справились с этим неравенством самостоятельно. На слайде есть подсказки.
Время составления плана – 1 минута.
Решите неравенства самостоятельно. Время выполнения – 10 мин.
П Устно отвечают на вопрос. Записывают в тетрадь модель. Работа в парах
Отвечают на вопрос. Учащиеся в группах обсуждают и составляют план решения одного неравенства. Рассказывают план решения. Решают неравенства самостоятельно предложенным способом. Задают вопросы учителю (если возникли). Самопроверка (сравнение с образцом на слайде). Заполняют лист самоконтроля (блок «Практикум по решению неравенств»). Исследование Логические универсальные действия
: Анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, и несущественных); Синтез - составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов; Выбор оснований и критериев для сравнения, классификации объектов; Подведение под понятие, выведение следствий; Установление причинно-следственных связей; Построение логической цепи рассуждений; Доказательство; Выдвижение гипотез и их обоснование. Вернёмся к домашнему заданию, неравенство №14 у вас вызвало затруднение? Давайте попробуем вместе составить план решения этого неравенства. (сл. № 14) Есть другой способ, который позволяет освободиться от логарифма в неравенстве. Он называется – метод рационализации. Этот метод основан на серии теорем, сегодня мы познакомимся с одной из них. Теорема на слайде. Докажем теорему. (сл №15)
- Учащиеся вместе с учителем обговаривают план решения неравенства. Учащиеся записывают теорему в тетрадь. Вместе с учителем обсуждают доказательство теоремы, делают записи в тетради. Учащиеся формулируют вывод: Первичное закрепление Предметные результаты:
Решение логарифмических неравенств методом рационализации; анализ и сравнение методов решения; закрепление знаний во внешней речи и знаковой форме. Задания для закрепления:
Решите неравенства новым рациональным методом. Время выполнения 8 мин.
Учащиеся решают уравнения методом рационализации и проверяют решения по образцу, корректируют решения. З Рефлексия учебной деятельности Коммуникативные УУД:
уметь устно выражать свои мысли. ЛичностныеУУД:
устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом. Регулятивные УУД:
выделять и осознавать то, что уже усвоено и что нужно еще усвоить. Учитель предлагает учащимся оценить свою работу на уроке: Подсчитайте количество + на листе самоконтроля. Учащиеся отвечают на вопросы и задают интересующие вопросы по данному уроку учителю. Учащиеся выставляют отметки в дневники. Итог урока Какие цели урока выполнили? Какие дальнейшие планы? - Учащиеся анализируют цели урока. Проговаривают план дальнейших действий. Записывают домашнее задание. Определение:
два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их решения совпадают. Равносильные преобразования:
положительное
при всех Х из ОДЗ неравенства, сохранив при этом знак неравенства, то получится неравенство f
(x
)h
(x
) g
(x
)h
(x
), равносильное данному; если обе части неравенства f
(x
) g
(x
) умножить на выражение h
(x
), отрицательное
при всех Х из ОДЗ неравенства, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство f
(x
)h
(x
) g
(x
)h
(x
), равносильное данному; если обе части неравенства f
(x
) g
(x
) возвести в одну и ту же нечётную степень
если обе части неравенства f
(x
) g
(x
) неотрицательны
на ОДХ, то после возведения обеих частей в одну и ту же чётную степень
n
, сохранив при этом знак неравенства, то получится неравенство f
n
(x
) g
n
(x
), равносильное данному; показательное неравенство a
f
(x
) a
g
(x
) равносильно неравенству: f
(x
) g
(x
), если а 1;
f
(x
) g
(x
), если 0 а
логарифмическое неравенство log
a
f
(x
) log
a
g
(x
), где f
(x
) 0 и g
(x
) 0, равносильно неравенству: f
(x
) g
(x
), если а 1;
f
(x
) g
(x
), если 0 а
Совокупность неравенств
Решение совокупности: объединение
решений всех неравенств в совокупности. Система неравенств
Решение системы: пересечение
решений всех неравенств в системе. Опорный конспект №3
«Методы решения неравенств»
Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем
Неравенства, содержащие Неравенства, содержащие
иррациональные выражения выражения с модулем
Неравенства, содержащие показательные выражения (потенцирование)
Неравенства, содержащие логарифмические выражения (логарифмирование)
Метод расщепление неравенств
Метод замены
Обобщённый метод интервалов
Будем рассматривать неравенства вида f
(x
) 0, где f
(x
) - логарифмическая, показательная, иррациональная или тригонометрическая функция. Наши действия будут такими:
1) Находим область определения f
(x
) 2) Находим нули f(x)
3) Определяем знаки на ОДЗ (которая разделена на промежутки нулями функции), подставляя удобные значения, принадлежащие каждому промежутку. 4) Записываем ответ, указывая объединение промежутков (из ОДЗ), на которых f
(x
) имеет соответствующий знак. Лист самоконтроля
Ф.И. _________________________________________ Задание
Отметка (+)
Теоретическая база
Опорный конспект №2 «Равносильность неравенств» Опорный конспект №3 «Методы решения неравенств» Опорный конспект №4 «Понятие логарифма. Логарифмическая функция» Повторение
Вычисление логарифмов.
Неравенство №1 Неравенство №2 Неравенство №3 Неравенство №4 Неравенство №5 Каково место данного урока в теме? Как этот урок связан с предыдущим? Подготовка к ЕГЭ – дистанционное обучение – тема «Неравенства».
Краткая психолого-педагогическая характеристика группы (количество учащихся, присутствующих, количество «слабых» и «сильных» учащихся, активность учащихся на уроке, организованность и подготовленность к уроку) Сильных – 2 (Юля, Алёна). Средних – 4 (Сергей, Сергей, Эльдар, Кирилл). Слабых – 2 (Андрей, Катя) Дать оценку успешности в достижении целей урока, обосновать показатели реальности урока. Повторить теорию – Закрепить теорию на практике – Вспомнить разные методы решения неравенств – Познакомиться ещё с одним методом – рационализации – Главный этап – научить строить план решение неравенства, выбирать рациональные методы решения. Рационально ли было распределено время, отведенное на все этапы урока? Логичны ли «связки» между этапами? Показать, как другие этапы работали на главный этап. 6. Отбор дидактических материалов, ТСО, наглядных пособий, раздаточных материалов в соответствии с целями занятия. 7. Как организован контроль усвоения знаний, умений и навыков учащихся? 8. Психологическая атмосфера на занятии 9. Как вы оцениваете результаты урока? Удалось ли реализовать все поставленные задачи урока? Если не удалось, то почему? 10. Наметить перспективы своей деятельности. Секрет успеха – в мелочах
Успешно пройти ГИА
ЕГЭ 2015 (профиль)
Средний балл по России – 49, 6
Средний балл по Пермскому краю – 47
Средний балл по Пермскому району – Подготовка к ЕГЭ 2016
Средний балл тренировочных работ 11 класса – 50, 52, 58
Тема:
«Решение логарифмических неравенств»
Цели:
Решение неравенств
Основные виды неравенств и способы их решения
Равносильные преобразования неравенств
Методы решения неравенств
Определение и свойства логарифма
Логарифмическая функция, её свойства и график
Задания для повторения
№
1
Преобразуйте выражения, используя свойства логарифмов Задания для повторения
№
2
Представьте число в виде логарифма с основанием 2 №
3
Вычислите: Задания для повторения
№
4
Выясните, при каких значениях Х
существует логарифм Решение простейших логарифмических неравенств
При решении простейших логарифмических неравенств необходимо учитывать ___________________________ монотонность логарифмической функции
возрастает
не меняем
убывает
меняем
Решите неравенства
Работа в группах:
составьте план решения неравенства Метод подстановки Решите неравенства самостоятельно Свойства логарифмической функции Метод интервалов Свойства логарифма Переход к равносильной системе Проверка
Проверка
Проверка
Проверка
Проверка
Мастер-класс
План решения:
План решения:
метод рационализации
Теорема
: выражения
log
а
b
и
(
b
–
1)(а
–
1
)
Теорема
: выражения
log
а
b
и
(
b
–
1)(а
–
1
)
имеют одинаковые знаки на ОДЗ логарифма
Доказательство
Теорема
: выражения
log
а
b
и
(
b
–
1)(а
–
1
)
имеют одинаковые знаки на ОДЗ логарифма
Вывод:
в решении неравенства мы можем заменить учитывая ОДЗ
логарифма, если Решите неравенства новым рациональным способом
: План решения:
План решения:
Задание
Отметка (+)
Теоретическая база
Опорный конспект №1 «Виды неравенств и их решение» Опорный конспект №2 «Равносильность неравенств» Опорный конспект №3 «Методы решения неравенств» Опорный конспект №4 «Понятие логарифма. Логарифмическая функция» Повторение
Практикум по решение неравенств
Неравенство №1 Неравенство №2 Неравенство №3 Неравенство №4 Неравенство №5 Первичное закрепление метода рационализации
Неравенство №1 Неравенство №2 ИТОГИ: (подсчитай количество +) «3» 25-49
«4» 50-75
«5» 76-90
Домашнее задание
Какие цели урока выполнили
?
На следующих занятиях мы продолжим знакомиться с рациональными методами решения неравенств
Равносильно неравенству (х-3)(х-2)2.
учитель математики
I квалификационной категории
МБОУ «Лицей №9 имени АС Пушкина
ЗМР РТ»
Урок в 10 классе по теме «Логарифмические неравенства»
Цели: а) образовательные: ▪ актуализация опорных знаний при решении логарифмических неравенств;
▪обобщение знаний и способов решения;▪ контроль и самоконтроль знаний. б) развивающие: ▪ развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации;▪ развитие навыков реализации теоретических навыков в практической деятельности;▪ развитие умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать и излагать мысли;▪ развитие интереса к предмету через содержание учебного материала.в) воспитательные:▪ воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля;▪ воспитание культуры общения, умения работать в коллективе, взаимопомощи;▪ воспитание качеств характера таких как, настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.
Технологии, используемые на уроке: технология дифференцированного и разно-уровневого обучения; технология обучения в сотрудничестве, индивидуально-групповая технология.
Оборудование: проектор, доска, карточки с заданиями, оценочные листы.
Задачи: - закрепить умения решать логарифмические неравенства
- рассмотреть типичные трудности, встречающиеся при решении логарифмических неравенств
- познакомиться с методом «рационализации» при решении логарифмических неравенств
Ход урока
У каждого ученика на столе имеется оценочный лист (см. приложение №1).
Актуализация знаний (0-5б)
(самооценка) Деловая игра
(0-5б)
(оценивает учитель) Работа по карточкам
(0-4б)
(оценивает партнер по плечу) Работа с формулами
(0-3б)
(самооценка) После каждого этапа лист заполняется, что даст возможность оценить работу на уроке, определить задачи на устранение пробелов в знаниях. За правильный ответ ученик вписывает в оценочный лист баллы.
I. Какие ассоциации можно составить с понятием логарифма?Предполагаемые ответы учеников:
(логарифмические уравнения, логарифмические неравенства, логарифмическая функция и т.д.)
Действительно, мы уже много знаем о логарифмах: умеем сравнивать логарифмы, решать простейшие логарифмические уравнения и неравенства, строить графики логарифмической функции.
Решение логарифмических неравенств имеет много общего с решением показательных неравенств
а) при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей
б) если решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства
Однако, есть очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов, необходимо учитывать область допустимых значений.
II.Актуализация опорных знаний:
1)Вспомним свойства логарифмической функции (слайд 3)
2)Выполним задания, используя свойства логарифмической функции
Задание 1.Найти область определения функции (слайд 4)
а) у =log191х2 б) у =log2,13-x в) у =log5I7x-1I
Задание 2. Сравнить с нулем значения логарифма (слайд 5)
а) lg 7 б) log0,43 в) ln0,7
Задание 3. Решить неравенство: (слайд 6)
а) log0,3 x>log0,3 5 б)log2х< log28 в)log0,5x<0
С помощью логарифмов можно сравнивать числа (слайд 7)
3) Логарифмическая комедия.
Сейчас я докажу вам, что 2>3.
Начнем с неравенства 14>18 , бесспорно верного. Затем следует преобразование lg122>lg123, тоже не вызывающее сомнений, значит2>3 , т.е. . Разделим обе части неравенства на, имеем 2>3.
Попробуйте разгадать софизм. (Математическим софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного).
4) Продолжим разгадывать софизмы. Найдите ошибку в решении следующих неравенств.
Деловая игра: ученики выступают в роли экспертов(за правильные ответы награждаются баллами)
Задание 4. Найдите ошибку в решении неравенства: (слайд 8)
1. а)log8 (5х-10) < log8(14-х),
5x-10 < 14-x,
6x < 24,
x < 4.
Ответ: (-∞; 4).
Ошибка: не учтена область определения неравенства.
Верное решение:
log8 (5х-10)< log8 (14-х) (слайд 9)
5x-10>0,14-x>0,5x-10<14-x; x>2,x<14,x<4; 2
xx+2>0,xx+2≤3 xx+2>0x2+ 2x-3≤0 х<-2,х>0;-3≤х≤1 -3≤x<-20
Ответ: (0:1.3. log0,5 (3х+1)< log0,5(2-х) (слайд11)
3x+1>0,2-x>0,3x+1<2-x; x> -13,x<2,x<14; -13
ВНИМАНИЕ! (слайд 12)
1. ОДЗ исходного неравенства. 2.Основание логарифма.
В завершении работы ученики заполняют оценочный лист.
III.Работа по карточкам (см. приложение 2)
Решить неравенство в тетради, записать ответ в таблицу (столбик 2),записать формулу, которую использовали при решении неравенства (столбик 3).
Решить неравенство ответ Какие формулы использовали
1.lg(x-2) + lg (27 – x) < 2
2.log3 (x+2)(x+4) + log1/3 (x+2) < 0,5 log√3 7
3.log4 x2 < log2 (4 – x) + log2 (3 - x)
x+3
4.logx ------ > 1
x-1 Проверить с партнером по плечу, затем правильные ответы выписать на доске, обсудить формулы
loga(xy) = logaIxI + logaIyIloga(x/y) = logaIxI - logaIyIlogax2 = 2logaIxI
1) основание логарифма 0 < а < 1 2) основание логарифма а> 1.
Есть метод, который облегчает решение неравенства. Назовем его метод «рационализации».
Он основан на следующем факте: знак разности loga f(x) – loga g(x) совпадает со знаком произведения(а – 1)(f (x) –g(x)) на ОДЗ, т.е.
loga f(x) > loga g(x) <=> f(x) >0 ,g(x)>0 , (а – 1)(f (x) –g(x))>0.
(это утверждение легко доказывается, попробуйте самостоятельно).
Решить неравенство №5 этим методом
№5.log1/4(3x+8)
Рассмотрим теперь неравенство logh(x) f(x)> logh(x) g(x)>0, a> 0,a ≠1 и найдем соответствующие ему условия равносильности. ОДЗ этого неравенства: f (x) > 0, g(x)>0, имеем (h(x) – 1)(f(x) - g(x)) > 0
Далее неравенство №4(из карточки) – ученики решают самостоятельно, командиры групп оценивают.
№6. (lg(3x2-3x+7) – lg(6+x-x2))/(10x-7)(10x-3) ≥ 0
(задание разбирается на доске учителем)
Итак, при решении логарифмических неравенств можно использовать равносильные переходы на области допустимых значений переменных.
V. Практикум по решению неравенств.(предлагается задание для работы в группах с обсуждением, проверкой на доске)
№7.(log0,5(x+1))/(x-4)<0
№8.(log2(x-3))/(x2-25)>0
№9.log2x(x2-5x+6)<1
№10.log3x+5(9x2+8x+8)>2
№11.logx-3(2(x2-10x+24))≥logx-3(x2-9)
VI. Домашнее задание: подобрать и решить 5 неравенств на применение нового метода
VII. Рефлексия.
- что нового узнали на уроке
- где будем применять
- какие трудности испытывали
VIII. Подведение итога урока. Подсчет баллов, сдать оценочные листы.
«аннотация»Просмотр содержимого документа
«групповая работа по заполнению пропусков»
Просмотр содержимого документа
«групповая работа с выбором ответа»
;
Просмотр содержимого документа
«работа экспертом»
Обоснованно получен верный ответ 3
Комментарий
. Ответ верен? Нет, значит – это не 3 балла. Решение
Просмотр содержимого документа
«текст открытого урока республиканский фестиваль»
ответ-1.
ответ 1
«игра своя по теме логарифмические неравенства и уравнения»
Просмотр содержимого презентации
«презентация к уроку Тухфатуллиной республиканский фестиваль»
1 Решение: ОДЗ: Х 1 . Log 5 (х-1)(Х+3)= Log 5 5, a 1, Х 2+ 2Х-35; Х 2+ 2Х-80; Х-4 …… ;Х 2 ………. С учетом ОДЗ получим х € (2;∞) . Ответ: (2;∞) ." width="640"
0 …… Перейдем во втором слагаемом к основанию 5: Log 2 5 х- Log 5 x Пусть Log 5 х=t, тогда t 2 - t -2 0, -1 2 ; 1)Log 5 х -1 ; х 0.2 ;2) Log 5 х2 ; х25 C Учетом ОДЗ: Ответ (0,2;25) ." width="640"
1), х2-3х-4 ≥ 0, х € (-∞ ;-1) … и (4; ∞) . С учетом ОДЗ: Ответ: (-∞ ;-1) и (4; ∞) ." width="640"
или
1
<
x
< 2.
x
> 1.
+
c
= 0.
«1. Опорный конспект - Виды неравенств и их решение»
{
в знаменателе – выколотые точки}
2) 
Просмотр содержимого документа
«4. Опорный конспект -Логарифмы »
сновные логарифмические тождества:
Просмотр содержимого документа
«Технологическая карта»
адание:
дополните предложение:
абота в парах
роверка:
сл. № 9 – 13.
сделайте вывод,
для чего мы доказали эту теорему?
аполняют лист самоконтроля (блок «Первичное закрепление метода рационализации»).
Запишите домашнее задание: решите неравенства новым методом.
Просмотр содержимого документа
«2. Опорный конспект - Равносильные преобразования»Просмотр содержимого документа
«3. Опорный конспект - Методы решения неравенств»
Просмотр содержимого документа
«Лист самоконтроля»
Самоанализ урока
Просмотр содержимого презентации
«Презентация к уроку»
1 функция __________, знак неравенства _______ при 0 монотонность логарифмической функции возрастает не меняем убывает меняем" width="640"
0 метод интервалов расщепление неравенства другой способ метод интервалов расщепление неравенства другой способ к основанию 5 в левую часть разность квадратов другой способ – метод интервалов расщепление неравенства другой способ – метод рационализации метод рационализации Теорема: выражения log а b и (b – 1)(а – 1) имеют одинаковые знаки на ОДЗ логарифма" width="640"
